DEREK-исследование динамических систем

Динамическая система - это система, которая изменяется (эволюционирует) со временем, причем ее состояние в любой момент времени однозначно определяется состоянием в начальный момент. Если время изменяется непрерывно, динамическую систему часто можно описать при помощи системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которые связывают скорость изменения ее состояния (т.е. производную по времени) с самим состоянием. Изменение состояния такой системы может быть равномерным, а также более сложным - периодическим и даже хаотическим.
Примеры динамических систем:

Солнечная система - совокупность небесных тел, взаимодействующих по закону всемирного тяготения
модели химических реакций, изучаемые химической кинетикой
биологические модели, описывающие развитие клеток, организмов и популяций
электрические цепи

Важный метод исследования таких динамических систем - это численное решение уравнений, описывающих систему и последующий анализ получающихся зависимостей. Нагляднее всего решение выглядит графически - как график зависимости состояния системы от времени или в виде кривых, изображающих эволюцию конкретной системы в пространстве всех ее возможных состояний («фазовом пространстве»), такие кривые называются «фазовыми траекториями». Для такого анализа и предназначен DEREK - приложение для операционных систем семейства Windows.

В чем отличия DEREK от других программ для исследования динамических систем (некоторые из них упомянуты на странице «Ссылки»)? Эта программа по-настоящему НАГЛЯДНА и действительно ПРОСТА. Если вы можете составить модель динамической системы в виде совокупности дифференциальных уравнений, но не хотите вдаваться в подробности численных методов ее решения, а также ломать голову над формированием графического представления результатов - DEREK может быть для вас очень полезен.

DEREK позволяет:

задать описание системы в виде совокупности дифференциальных уравнений, начальных условий, а также параметров, входящих в уравнения
найти ошибки в описании системы, точно указав место и суть ошибки
автоматически выбрать параметры численного метода для решения системы. Если что-то пойдет не так при численном решении (это иногда случается), DEREK не выдает непонятных сообщений (вроде «Runtime error 203 at address 049F») и не прекращает выполнение с жалобным писком, а просто и понятно объясняет, что нужно поправить для того, чтобы решение нашлось (конечно, и DEREK можно заставить «умереть», но для этого придется сильно постараться). Количество параметров для управления численным решением системы невелико, а их смысл весьма прозрачен, так что запутаться в них сложно
построить наглядные графики решений и любых зависящих от решения величин. DEREK может сам масштабировать поле для графиков для наилучшего их отображения, но допускает и задание поля вручную
исследовать трехмерное изображение фазовой траектории. DEREK умеет вращать трехмерную фазовую траекторию, а также приближать и удалять её.

DEREK также включает в себя некоторые специальные методы для анализа динамических систем:

построение «семейства» решений, зависящих от одного или двух параметров или от набора различных начальных условий. Для каждого значения параметра строится график, по которому можно следить за изменением поведения системы (например, при изменении параметра движение из равномерного может становиться периодическим, а из периодического хаотическим - такое изменения поведения системы называется «бифуркацией»)
построения «сечений Пуанкаре» - множества точек пересечения траектории системы с заданной плоскостью. Сечения Пуанкаре позволяют лучше понять характер движения
вычисление «показателей Ляпунова» - наборов чисел, характеризующих поведение системы при бесконечной эволюции и не зависящих от начальных условий (кроме, быть может, небольшого количества исключений). DEREK умеет также строить график зависимости показателей Ляпунова от параметра системы

Помимо этого, DEREK содержит большое (можно сказать «огромное») количество примеров реальных динамических систем из механики, физики, химии, биологии, а также (ну как же без этого в современной теории динамических систем!) - метеорологии. Многие примеры снабжены ссылками на ресурсы в Интернет, которые включают в себя подробные описания систем, историю их исследования и прочее.

Уникальная черта DEREK'а - его способность обращаться с набором известных ему динамических систем как с базой данных - позволяет осуществлять поиск систем по заданной совокупности сложных критериев. При этом можно получать ответы на запросы, подобные следующим: «выбрать системы не менее чем третьего порядка и притом неавтономные» или «выбрать системы, которые модифицировались после 1 марта 2015г., правые части которых - полиномы не более чем второго порядка от переменных системы» или даже: «выбрать системы, описываемые уравнением Штурма-Лиувилля».

Примеры изображений, которые умеет создавать DEREK, можно увидеть на страницах «Примеры» и «Эксперименты». На странице «Как это работает» показано исследование одной системы от ввода ее описания до анализа решения. На странице «Привлекательные аттракторы» можно ознакомиться с изображениями сложных и красивых аттракторов динамических систем. Наконец, на странице «Реконструкция» можно узнать о еще одном аспекте исследования динамических систем - конструировании уравнений на основе экспериментальных данных.

Методы исследования динамических систем можно использовать для изучения распространения эпидемий, соответствующий
пример, основанный на моделировании пандемии COVID-19, находится на странице «Моделирование эпидемии».

Если вы предпочитаете чтению скучных текстов рассматривание картинок - страница «Галерея» для вас ...