«Полезно решать дифференциальные уравнения» (сэр Исаак Ньютон)
Эксперименты
DEREK - это простая, но мощная среда для изучения динамических систем. В состав программы включано множество известных динамических систем, с которыми можно экспериментировать. Далее мы рассмотрим несколько таких экспериментов.
Управление спутником
Следуя описанию в книге: Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений: нежесткие задачи (издательство «МИР», 1990г., стр.134), рассмотрим классическую задачу трех тел, обладающих массой и подчиняющихся закону всемирного тяготения. Предположим, что масса третьего тела пренебрежимо мала по сравнению с массами первых двух, а также - что все три тела перемещаются в одной плоскости - примером такой системы может быть движение искусственного спутника в поле тяготения Земли и Луны. Система уравнений движения в этом случае следующая:
Особый интерес среди всех возможных вариантов движения представляют собой периодические орбиты. Тщательный выбор начальных условий:
приведенный в книге, позволяет получить в результате решения системы интересную периодическую орбиту (подобные орбиты называются «орбитами Аренсторфа»)
В базе данных DEREKа имеется описание системы ARENST, в котором уравнения задачи трех тел представлены в следующем виде:
Решение этой системы с помощью DEREKа позволяет воочию увидеть вышеупомянутую орбиту - спутник выписывает замысловатые (и периодически повторяющиеся) «кренделя» вокруг Земли и Луны:
Можно поставить теперь следующую задачу - как вернуть на Землю спутник, движущийся по орбите Аренсторфа? Предположим, что спутник обладает собственным двигателем, который в определенный момент можно включить, что придаст спутнику некоторое постоянное ускорение, а через некоторое время выключить. В этом случае уравнения движения приобретают вид:
где
Попробуем исследовать эту задачу с помощью DEREKа. Для нашего эксперимента скопируем описание системы для орбиты Аренсторфа ARENST базы данных DEREK и сохраним его в виде нового описания с именем SATCTRL, в уравнениях при этом учтем операцию включения и выключения двигателя:
-
C3 обозначает момент времени, в который двигатель включается,
-
C4 - промежуток времени, в течение которого двигатель работает,
-
C5 и C6 - величины соответственно горизонтальной и вертикальной составляющей постоянного ускорения, придаваемого спутнику.
Будем исследовать новую систему (запустите ролик)
Таким же способом можно попытаться посадить спутник на Луну, выбрав соответствующий момент времени для включения двигателя, его продолжительность и тягу.
Кстати, орбиты подобного типа использовались в реальных полетах к Луне, которые осуществлялись США в рамках лунной программы «Аполлон». На следующем кадре из американского фильма «Аполлон 13» на экране в Центре Управления Полетом видна орбита Аренсторфа в виде «восьмерки», в отдельных кольцах которой находятся Земля и Луна.
В работе В.Г.Прокопенко «Редупликация хаотических аттракторов и построение составных мультиаттракторов» (журнал «Нелинейная динамика» 2012 Т.8 № 3. С.483-496) предложена интересная модификация этой системы, которую можно попытаться воспроизвести с помощью DEREKа.
Итак, описание классической системы Лоренца в базе данных DEREKа называется LORENZ и имеет следующий вид:
В вышеупомянутой работе автор предлагает заменить одну из переменных, обозначающих компоненты динамической системы (например, X) кусочно-линейной функцией специального вида:
График такой функции изображен на рисунке:
Уравнения новой системы будут иметь вид:
В модифицированной системе произойдет «размножение» аттрактора Лоренца, при котором вместо одной «бабочки» аттрактора появятся две. DEREK позволяет легко это продемонстрировать. Скопируем описание классической системы Лоренца LORENZ, изменив уравнения соответствующим образом и сохраним новое описание под именем REDUPL:
В этом описании C4 обозначает h, а C5 - d, здесь использованы конкретные значения h и d, предлагаемые автором работы:
h = 18, d = 10
Теперь можно проследить за редупликацией аттрактора (запустите ролик):
В своей работе автор предлагает дальнейшее расширение такой конструкции, которое позволяет получить аттрактор, состоящий из множества элементарных аттракторов, но это уже выходит за рамки данного эксперимента. С подробностями можно ознакомится в полном тексте статьи: http://nd.ics.org.ru/doc/r/pdf/2049/1
Трудно удержаться от того, чтобы не сказать что-то вроде: «Автор продемонстрировал новый способ размножения бабочек» ☻
Как видите, с помощью DEREKа можно весьмо просто осуществлять довольно сложные эксперименты с реальными динамическими системами.