«Полезно решать дифференциальные уравнения» (сэр Исаак Ньютон)
Материалы для следующих примеров реконструкции взяты с ATOMOSYD - вебсайта исследовательской группы Руанского университета, Франция, посвященного топологическому анализу и моделированию динамических систем
Канадская рысь
Компания Гудзонова Залива (HBC), занимавшаяся, среди прочего, заготовкой пушнины в Канаде, в XIX-XX столетиях вела статистику добытых шкурок рыси и зайц-беляка. Данные о количестве рысиьх шкурок, опубликованные в статье::
образуют временной ряд, пригодный для реконструкции динамической системы, описывающей колебания популяции рыси. Следуя рекомендациям статьи:
и пользуясь заранее интерполированными данными зависимости количества добытых шкурок рыси от года, представленными на странице «Canadian lynx counted by the Hudson Bay Company» сайта ATOMOSYD , с помощью DEREKа, можно построить хаотическую динамическую модель 4-ого порядка, которая в целом адекватно описывает колебания численности канадской рыси::
Чума в Бомбее
В.А.Хавкин вакцинирует индийских крестьян
В статье: S. Mangiarotti, Low dimensional chaotic models for the plague epidemic in Bombay (1896-1911), Chaos, Solitons & Fractals, 81, 184-196, 2015 исследуются статистические данные о распространении чумы во время эпидемии в Бомбее.
в 1896-1911 гг. Автору удалось построить несколько динамических моделей, описывающих взаимосвязь между количеством человеческих смертей во время эпидемии с количеством пойманных инфицированных серых крыс
(Rattus norvegicus) и чёрных крыс (Rattus rattus). Используя данные (векторные временные ряды и динамическую модель) из этой статьи, представленные на странице «Chaotic seasonal variations of plague in India (1896-1911)» сайта ATOMOSYD :
(в этой модели x означает количество человеческих смертей от чумы; y и z - количество пойманных инфицированных коричневых и черных крыс соответственно), с помощью DEREKа легко воспроизвести результаты моделирования:
В упомянутой статье автор прибегает к сложному алгоритму выбора членов многочлена от многих переменных в правой части системы, описанному в:
S. Mangiarotti, R. Coudret, Laurent Drapeau, Lionel Jarlan. Polynomial search and global modeling: Two algorithms for modeling chaos. Physical Review E, American Physical ociety, 2012, 86(4), pp.046205.
DEREK не умеет пользоваться этим алгоритмом, поэтому он не может построить динамическую модель для этого векторного временного ряда. Но, тем не менее, с помощью DEREK'а можно построить модель на основе скалярного временного ряда, содержащего только число человеческих смертей и более растянутого по времени, он также доступен на веб-сайте ATOMOSYD. При моделировании можно сгладить исходный временной ряд с помощью сглаживающего сплайна, а затем построить хаотическую модель 4-го порядка на основе сглаженного скалярного временного ряда:
Реконструкция
Аттрактор реконструированной системы
Для обоих приведенных выше примеров данные с веб-сайта ATOMOSYD использовались напрямую с минимальными изменениями (строки текстовых файлов, не содержащие числовых данных, были закомментированы), вся обработка была произведена и все графики были построены с помощью DEREK'а. В обоих случаях для реконструкции в качестве правой части были выбраны полиномы 2-го порядка от динамических переменных, было сделано несколько попыток подобрать соответствующее окно реконструкции (диапазон изменения независимой переменной) и степень сглаживания для производных.